[미적분학 Calculus] 거듭제곱 함수, 거듭제곱근 함수 (Power function, Root function) 설명 및 그래프 형태

 

 

본문요약 1. 거듭제곱함수 거듭제곱함수는 $f(x) = x^{n}$형태를 가진 함수이다. 특징 : 하나의 항만 가짐. n이 양의 정수임. ​ n이 짝수인 경우 : 짝함수가 되며, $y = x^{2}$와 비슷한 계형 n이 커질수록 0에 가까운 부분은 평평해지고, 그 외에는 가팔라짐. ​ *짝함수(우함수) = y축 대칭인 함수. +) n이 짝수인 거듭제곱함수가 y축 대칭인 성질을 보이기 때문에 '짝함수'라고 이름붙여졌나봄. ​ n이 홀수인 경우 : 홀함수가 되며, $y = x^{3}$과 비슷한 계형 ​ *홀함수(기함수) = 원점 대칭인 함수. +) n이 홀수인 거듭제곱함수가 원점 대칭인 성질을 보이기 때문에 '홀함수'라고 이름붙여졌나봄. ​ ​ 2. 거듭제곱근함수 거듭제곱근함수는 $y = x^{1/n}$ 형태를 가진 함수이다. 특징 : 하나의 항만 가짐. n이 양의 정수임. ​ n이 짝수인 경우 : 정의역은 [0,∞), $y = x^{1/2}$와 비슷한 계형, $x = y^{2}$포물선의 위쪽 그래프. ​ n이 홀수인 경우 : 정의역은 실수전체. $y = x^{1/3}$와 비슷한 계형 * 실수는 모두 세제곱근을 가진다.

 

 

  -  power Functions(거듭제곱 함수)

   (1) 양의 정수 n에 대하여 a = n인 경우

 

아래 그림은 n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 일 때 $f(x) = x^{n}$ 의 그래프를 그린 것이다. 이 때 $f(x)$는 하나의 다항식 항을 가지고 있는 것이 특징이다.

power function 거듭제곱 함수 예시

일반적인 $f(x) = x^{n}$ 함수의 형태는 n이 짝수인지 홀수인지에 따라 다르다. n이 짝수(even)면, n은 짝함수(even function)이고, $y = x^{2}$ 그래프와 비슷하다.

 

만약 n이 홀수(odd)이면, $f(x) = x^{n}$ 함수는 홀함수(odd function)이며, $y = x^{3}$ 그래프와 비슷한 형태를 띤다. n에 따른 차이점은, n이 클수록 0에 가까운 부분의 그래프가 더 평평해지고, |x| > 1 인 부분이 더 가팔라진다. 

 

* 위의 그림에서 빨 주 노 초 파 남 보 순서로 n = 1, 2, 3, 4, 5, 6인 그래프를 나타낸다.

 

n = (odd)      n이 홀수일 때

n = (even)      n이 짝수일 때

 

 

 

 

 

(2) a = 1/n인 경우와 음의 정수일 경우

$y = x^{1/2}$

$f(x) = x^{1/n}$는 거듭제곱근함수이다. n = 2를 대입하면 "제곱근함수"라고 부르며, $f(x) = x^{1/2}$가 된다. 이 함수는 정의역이 [0, ∞)이고, 포물선 $x = y^{2}$의 윗부분과 동일하다. 위에서 거듭제곱 함수가 $f(x) = x^{2}$ 또는 $f(x) = x^{3}$과 비슷한 형태를 가졌듯이, 거듭제곱 함수도 두 가지 함수와 거의 비슷한 형태를 가진다. 첫째로, $f(x) = x^{1/2}$ 함수와 비슷한 형태를 가지는데, 다른 짝수 n에 대하여, $f(x) = x^{1/n}$ 그래프는 $f(x) = x^{1/2}$ 그래프와 비슷하다. 

 

$y = x^{1/3}$

 

n = 3이면, $f(x) = x^{1/3}$이다. 이 함수의 정의역은 R이다. 그 이유는 모든 실수가 세제곱근을 가지고 있기 때문으로, 음수의 제곱근은 존재하지 않았던 것과 달리, 음수인 실수는 세제곱근을 가지고 있다는 것을 떠올려보자. 3보다 큰 홀수 n에 대하여 $f(x) = x^{1/n}$의 그래프는 $f(x) = x^{1/3}$그래프와 비슷한 형태를 가진다.

 

 

 

 

---

* 오류가 있다면 댓글달아 주세요.

질문, 구독은 환영입니다 :)

---

 

 

 

 

참고 문헌 : Stewart, James - Calculus (2016, Cengage Learning)