[미적분학 Calculus] 극한(limit)의 직관적 정의, 극한에서 아주 중요한 부분

< 본문 요약 > f(x)가 a근처에서 정의된다면 x가 a에 양 옆에서 접근할 때 f(x)가 L에 가까워진다면, $$\lim _{x\to a}^{ }{f\left(x\right)\ =\ L}$$ ​ 와 같이 표기하고, x가 a에 접근할 때 f(x)의 극한은 L이라고 한다. ​ 이 때 주의할 점은, x = a 일 때에는  전혀 상관이 없다는 것이다. 극한을 구할 때에는 x = a '근처'에만 상관이 있으며, x = a가 정의가 되지 않거나 f(a)가 L인지와는 아무런 상관이 없다.

 

 

 

1) 함수의 극한 예시

위 그림의 그래프를 f라 하자. 그래프에서 x가 2에(양 옆에서 2로)가까워질 때 f(x)는 4에 가까워짐을 볼 수 있다. 실제로, 우리가 x를 충분히 가깝게 함으로써 f(x)를 우리가 원하는 만큼 4에 가까워지도록 만들 수 있다. 그래서 위 상황을 다음과 같이 서술할 수 있다.

 

"x를 2에 가깝게 할 때 함수 f(x) = x2 - x + 2 의 극한은 4이다."

 

 

 

 

2) 함수 극한의 직관적 정의

f(x)가 a에 가까운 x에서 정의된다고 하자. 이것은 f가 a를 포함하는 열린 구간에서 정의됨을 의미한다. 또한, a는 꼭 정의되어야 하는 것은 아니다. 이때 다음과 같이 쓴다.

 

$$\lim _{ }^{ }{f\left(x\right)\ =\ L}$$

 

그리고, "x가 a에 가까워질 때 f(x)의 극한은 L과 같다." 고 말할 수 있다. 하지만 a에 충분히 가까워진 x를 a와 같다고 하지는 않는다. 대략, 값 f(x)는 x가 a에 가까워질 때 L에 가까워진다는 점이다. 

 

f(x) → L       as      x → a

 

표기법은 위와 같이도 쓸 수 있다.

 

 

 

 

 

3) 극한에서 유의해야할 점

우리가 주의해야할 부분은, 극한의 정의에서 "x ≠ a"인 상황을 잘 이해하는 것이다. 이는 x가 a에 가까워질 때 x = a인 경우를 전혀 고려하지 않는다는 것을 뜻한다. 실제로, f(x)가 x = a에서 정의될 필요도 없다. 위 그림은 가능한 3가지 상황을 보여준다. (c)에서 f(a)가 정의되지 않으며, 그리고 (b)에서는 f(a) ≠ L이다. 하지만 위 세가지 경우 모두 f(a)가 어떠한지에 상관없이 lim x → a f(x) = L는 참이다.

 

 

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참고 문헌 : Stewart, James - Calculus (2016, Cengage Learning)